De nuevo.... mates!!!!

De nuevo con las mates después del verano. Empiezo con una entrada especialmente interesante El discreto encanto de los números que recoge un pequeño resumen de lo que me anima a este gran esfuerzode entender las mates, la materia, el universo y al fin, a mí mismo.

La matemática aplicada a la física está en el orígen de mi Teoría musical de la materia. Por ello voy a seguir este año las clases del profesor David L. Goodstein del Calfornia Institute of Technology que explican la física del universo en su The Mechanical Universe, editado por Annenberg Learner.

Creo que es una buena manera de empezar mi nuevo curso de mates (13/10/2014). Si alguien sabe dónde encontrar esta serie de vídeos que lo diga. Está a la venta en DVD por $450.

El curso pasado la puesta en marcha de los motores de despegue la proporcionó una aproximación al estudio del Palimpsesto de Arquímedes (NOTA1)y la Historia de las matemáticas de Ríbnikov(NOTA2).

La expo Lost and Found : The Secrets of Archímedes en el Walters Art Museum de Baltimore (USA).

NOTAS.-
NOTA1.-
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Texto_02

NOTA2.-

Matemáticas y arte (I) : La perspectiva.

Las mates casan mejor con la música que con el arte - como arte entiendo las artes plásticas - . Pero también el arte plástico tiene sus puntos matemáticos sin la comprensión de los cuales no se puede entender la representación gráfica.

Ahora empezamos con las perspectiva. La perspectiva es uno de los puntos fuertes de la representación gráfica. El uso de la perspectiva ha sido determinante en la confección de las maneras de ver el mundo y de la historia del arte.

"The year 1714 also marks the time in which Taylor was elected Secretary to the Royal Society. It was a position that Taylor held from January 14 of that year until October 21, 1718 when he resigned, partly for health reasons and his lack of interest in the rather demanding position. That time period marks what must be his most mathematically productive time. Two books, which appeared in 1715, Methodus incrementorum directa et inversa and Linear Perspective are extremely important in the history of mathematics.

Taylor made several visits to France. These were made partly for health reasons and partly to visit friends he had made there. He met Pierre Remond de Montmort and corresponded with him on various mathematical topics after his return. In particular, they discussed infinite series and probability. Taylor also corresponded with de Moivre on probability and at times there was a three-way discussion going on between them.

Between 1712 and 1724, Taylor published 13 articles on topics as diverse as describing experiments in capillary action, magnetism and thermometers. He gave an account of an experiment to discover the law of magnetic attraction (1715) and an improved method for approximating the roots of an equation by giving a new method for computing logarithms (1717).

Taylor added to mathematics a new branch now called the "calculus of finite differences", invented integration by parts, and discovered the celebrated series known as Taylor's expansion. These ideas appear in his first book mentioned previously. Other important ideas, which are contained in said book, are singular solutions to differential equations, a change of variables formula, and a way of relating the derivative of a function to the derivative of the inverse function. Also contained is a discussion on vibrating strings, an interest which almost certainly comes from his early love of music.

Taylor also devised the basic principles of perspective in Linear Perspective (1715). The main theorem in this work was that the projection of a straight line not parallel to the plane of the picture passes through its intersection and its vanishing point" (más).

Matemática y Música (I) : Las series armónicas.

"Como los pitagóricos veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que estos son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número. (más)"



Siempre he pensado que algún día se demostrará que la esencia de la materia - no sólo la esencia del mar - es musical. Y que como el mar - de donde todos venimos - las partículas más pequeñas de la materia y de nosotros mismos se mueven en forma de olas, ondas musicales. Posiblemente eso es lo que creían los pitagóricos. Y posiblemente la música sólo sea el recuerdo de esa armónica perfección de la que todos procedemos.

Breve introducción histórica :

"Todos los teóricos del Medievo y los de la primera etapa del Renacimiento confluyen en la figura de Zarlino. Con sus tres famosos tratados – Instituciones armónicas (1558), Demostraciones armónicas (1571) y Suplementos musicales (1588)-, el maestro veneciano pretende llevar a cabo una racionalización sistemática dentro del campo de la música, racionalización que alcanzaría su meta, casi dos siglos más tarde, en la obra de Rameau.

La gran revolución de Zarlino en estos tres tratados consiste en demostrar que aquello que le da consistencia a los sonidos que producen la música, y por ende, belleza, no es una relación de tipo arbitrario o convencional, sino una relación que se apoya en la naturaleza de las cosas y, en tanto que natural, racional. ¿De dónde proviene, pues, éste fenómeno natural racional que aporta belleza a los sonidos? Esta pregunta persiguió a Zarlino durante varias décadas hasta que, tras un intenso esfuerzo, dio en la clave: los sonidos armónicos, ellos son los que dotan de consistencia a los sonidos naturales.

Se hace necesario explicar aquí brevemente qué son los sonidos armónicos. Todo cuerpo que produce un sonido de vibraciones iguales (la cuerda de un violín, de un piano, la lengüeta de un clarinete, etc.) genera, aparte del sonido original, una serie de sonidos paralelos que van apareciendo en una sucesión temporal y que son siempre los mismos. Esta serie armónica es la que, por ejemplo, permite que cada instrumento tenga un timbre y un color diferente, ya que cada instrumento potencia sonidos diferentes de la serie armónica.

Este descubrimiento extraordinario revolucionó por completo y para siempre la música en Occidente. No sólo por las consecuencias técnicas que tuvo, al permitir la construcción de nuestro sistema tonal, sino además por el terremoto filosófico y estético que provocó. Se hace necesario recalcar, que sin la revolución del sistema tonal no hubieron podido nacer las grandes obras, hoy en día admiradas, de los genios posteriores como Bach, Beethoven o Brahms. Hay que recordar, que Zarlino no pretendía inventar nada nuevo; al contrario, su firme intención era la de retornar a la teoría musical griega, la cual, en su opinión, había sido alterada por los teóricos medievales. Todas las investigaciones del maestro veneciano fueron siempre dedicadas a encontrar un orden natural y que sea tan sencillo y racional como la propia Naturaleza. Por este motivo, los sonidos armónicos son el fundamento del nuevo sistema armónico, puesto que se hallan en la naturaleza y originan, por tanto, acordes consonantes que producen belleza.

Éste descubrimiento sirvió de guía a todos los teóricos de la armonía hasta Rameau; representa, además, la toma de conciencia por parte de los músicos prácticos, que empezando por la música profana, irán descubriendo la nueva fuerza expresiva que el recién descubierto sistema tiene y que tiene como consecuencia más directa una construcción formal mucho más sencilla y racional" (más).

(continuará)

Newton y los infinitesimales.

Newton y los infinitesimales, por xiscobernal@gmail.com

También Ríbnikov (1,196,203) afirma que Newton tuvo que pasar por alto el problema de los infinitesimales para explicar su Método de las Fluxiones : “La ruptura entre el lado operativo-algorítmico de la teoría de las fluxiones y sus fundamentos lógicos quedó sin solución. (…) según expresión de K. Marx, (…) sus fundamentos son “místicamente” misteriosos” (1,197). Esta expresión de Marx es lo mejor que he oído hasta ahora sobre la incomprensión de una parte fundamental del Método de las Fluxiones de Newton.
 

http://www.taringa.net/posts/offtopic/15802208/Newton-Se-sentaba-en-el-Pinocho-Megapost.html

Es esta incomprensión del auténtico sentido de los fundamentos del Método de las Fluxiones lo que hace que no la encontremos operativa. Una causa importante de esta incomprensión la tiene contemporaneidad y la prevalencia de la otra manera de explicar las cosas : el Método de los Diferenciales de Leibnitz.


La mejor presentación y por consiguiente, la mejor comprensión por parte de la comunidad científica del Método de los Diferenciales de Leibnitz - quien daba a la elección del simbolismo una enorme importancia (1,199) -, facilitó la despreocupación por unos problemas realmente engorrosos de índole matemático-filosófica. Se quedaron en el tintero esos fundamentos “místicamente misteriosos” que nadie entendía y que,lo mejor de todo, no hacía ninguna falta entender.


¿Para qué preocuparse de algo tan extraño cuando al mismo tiempo y por otra autoridad matemática – Leibnitz - se resolvía admisiblemente el conjunto de la cuestión?


Sin embargo, ahí estaba – y está – la clave para entender el cálculo y el análisis matemático como herramientas para la comprensión de la realidad de la naturaleza y de la vida. Pues como dice Ríbnikov “(...) el punto de partida de la teoría de las fluxiones se encontraba en la mecánica”(1,196). Y ni en la mecánica ni en la naturaleza existen problemas de análisis infinitesimal.


“En Quadrature of Curves (1676), Newton expresa su propósito de abandonar por completo el uso de cantidades infinitesimales. Manifiesta en este sentido que errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi , esto es, que en matemáticas ni siquiera los errores más pequeños pueden ser admitidos”(2,37).


Puede parecer demasiada atrevida mi hipótesis a la vista del nivel elemental de mis conocimientos matemáticos. Creo, sin embargo, que al revés, es esa ausencia de conocimientos superiores en matemáticas, esa distancia de las soluciones adoptadas por la ciencia matemática, la que me da la posibilidad de entrever con más claridad algunas lagunas y errores. (28.01.2014)






Bibliografía.-
1.- Ríbnikov, K., 1974, Historia de las matemáticas, Editorial Mir, Moscú.

2.- “../Mates/Biblioteca/Origenes_del_ Calculo.pdf”. Pérez González, J. Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada.

3.- “../Mates/Biblioteca/01_Personajes/Leonhard Euler(en).htm”

4.- “../Mates/Biblioteca/El descubrimiento del cálculo.htm (2.3. El método de las fluxiones)”

5.- Isaac Newton, 1736, The Method of Fluxions and Infinites Series; with his Application to the Geometry of Curves Lines, printed by Henry Woodfall, London.

El discreto encanto de los números.

Al principio se creyó que la materia era algo rígido e inamovible. Hoy se sabe que está compuesta de pequeñas partículas en continuo movimiento. Con los números y las cantidades ocurre lo mismo. Algún día se demostrará que los números no son algo exacto, fijo e inamovible sino que oscilan y se mueven – en el mejor de los casos - alrededor de una cifra o cantidad media que es lo que nosotros conocemos como número.

Estas variaciones no son al azar sino siguiendo una armonía cósmica y universal a la que yo llamo sencillamente música. Por eso he creado mi Teoría musical de la materia.

El profesor David L. Goodstein del California Institute of Technology de California parece estar de acuerdo conmigo, o yo con él.

Cuando logremos superar los conceptos de continuidad o discreción podremos comprender el concepto de armonía musical que forma la esencia no sólo de la materia sino también del número y de nuestro propio pensamiento.

Las mentes de los primeros matemáticos eran mentes que manejaban números asociados a las observaciones y realidades astronómicas. ¿Qué quiere decir esto? Pues que la realidad a la que se aplicaban era un realidad en movimiento, cambiante, aunque cíclica, armónica y por tanto recurrente. Una realidad astronómia periódica, llena de armonía y de la música del movimiento de los astros. Poco a poco los matemáticos dejaron de mirar el cielo y se fijaron cada vez más en las pequeñas cosas de aquí abajo. Y las matemáticas y los números fueron perdiendo su sentido orginal, cósmico, armónico, lleno de movimiento y de música, para tender hacia una exactitud y una precisión imposible. Así nació el cálculo, los límites, la continuidad y la discontinuidad,con el intento de reducir su amplitud cósmica y hacerlos capaces de medir mercancías, compras, ventas, los días del año y los años de la vida de las personas.

Esfera armilar.

Newton – matemática, físico y filósofo - volvió a enfrentarse en el siglo XVII con esta contradicción. Su mente pensaba como la de los primeros matemáticos y por eso lo pensaba todo en movimiento. Creó la Ley de la gravitación universal e investigó la naturaleza de la luz como físico. Como matemático creo su Teoría de las fluxiones. Recordando, para probar justamente lo contrario - siguiendo a Heráclito -, 2140 años después, las paradojas y la teoría de los límites de Zenón de Elea. 

Zenón trató de probar la inexistencia del movimiento y del espacio. Y estaba en lo cierto. De acuerdo con los presupuestos de la matemática que había dejado de mirar al espacio ya no se podía probar la existencia del movimiento ni del espacio, ni demostrar el paso del tiempo. Todo esto te parecerá, querido lector, querida lectora, muy poético. Sin embargo es absolutamente científico. Tal vez por ello la matemática es una de las ciencias más apasionantes que existen. Quizá porque nos obliga a mirar de nuevo a los astros y a las estrellas que conforman nuestro propio contexto. Y a entender nuestra realidad, no como la desean los economistas, los contables, las aseguradoras y los banqueros. Sino como la que deseamos los poetas.